3 Решите уравнение x²-2x+√3-x =√3-x+8.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$$x^2 - 2x + \sqrt{3-x} - (\sqrt{3-x} + 8) = 0$$ $$x^2 - 2x + \sqrt{3-x} - \sqrt{3-x} - 8 = 0$$ $$x^2 - 2x - 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

Найдём дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

Дискриминант больше нуля, значит уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:

При $$x = 4$$:

$$4^2 - 2 \cdot 4 + \sqrt{3 - 4} = \sqrt{3 - 4} + 8$$ $$16 - 8 + \sqrt{-1} = \sqrt{-1} + 8$$ $$8 + \sqrt{-1} = \sqrt{-1} + 8$$

Т.к. под корнем отрицательное число, корень не подходит. Область определения: $$3 - x \geq 0$$ => $$x \leq 3$$.

При $$x = -2$$:

$$(-2)^2 - 2 \cdot (-2) + \sqrt{3 - (-2)} = \sqrt{3 - (-2)} + 8$$ $$4 + 4 + \sqrt{5} = \sqrt{5} + 8$$ $$8 + \sqrt{5} = \sqrt{5} + 8$$

Корень подходит, т.к. $$x \leq 3$$.

Ответ: $$x = -2$$