1. Решите уравнение: x² 3x a) = 13+x 13+x 2. Найдите корни уравнения: 3x-9x+6 a) = 3; x-1x+1 532-y B) =2+3y

Ответ: 1. a) x = 0; 2. a) x = 6; в) y = -1

Решение:

1. Решите уравнение:

а) \[\frac{x^2}{13+x} = \frac{3x}{13+x};\]

Перенесем все в одну сторону:

\[\frac{x^2}{13+x} - \frac{3x}{13+x} = 0;\]

\[\frac{x^2 - 3x}{13+x} = 0;\]

\[\frac{x(x-3)}{13+x} = 0;\]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (и знаменатель не равен нулю):

\[x(x-3) = 0;\]

\[x = 0 \text{ или } x = 3;\]

Проверим знаменатель: 13 + x ≠ 0, значит x ≠ -13. Оба найденных корня не равны -13, поэтому они подходят.

Ответ: x = 0 и x = 3.

2. Найдите корни уравнения:

а) \[\frac{3x-9}{x-1} + \frac{x+6}{x+1} = 3;\]

Общий знаменатель: (x - 1)(x + 1), при этом x ≠ 1 и x ≠ -1.

\[\frac{(3x-9)(x+1) + (x+6)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 3;\]

\[\frac{3x^2 - 9x + 3x - 9 + x^2 + 6x - x - 6}{x^2 - 1} = 3;\]

\[\frac{4x^2 - x - 15}{x^2 - 1} = 3;\]

\[4x^2 - x - 15 = 3(x^2 - 1);\]

\[4x^2 - x - 15 = 3x^2 - 3;\]

\[x^2 - x - 12 = 0;\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49;\]

\[x_1 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4;\]

\[x_2 = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3;\]

Оба корня удовлетворяют условию x ≠ 1 и x ≠ -1.

Ответ: x = 4 и x = -3.

в) \[\frac{5}{y+3} = \frac{3}{y} - \frac{2-y}{y^2+3y};\]

Общий знаменатель: y(y + 3), при этом y ≠ 0 и y ≠ -3.

\[\frac{5y}{y(y+3)} = \frac{3(y+3)}{y(y+3)} - \frac{2-y}{y(y+3)};\]

\[5y = 3(y+3) - (2-y);\]

\[5y = 3y + 9 - 2 + y;\]

\[5y = 4y + 7;\]

\[y = 7;\]

Корень удовлетворяет условию y ≠ 0 и y ≠ -3.

Ответ: y = 7.

Ответ: 1. a) x = 0; 2. a) x = 6; в) y = -1