3. Решите уравнения. log3 (x²+6) = log35x

Решим уравнение $$\log_3(x^2+6) = \log_3(5x)$$.

1. ОДЗ: $$\begin{cases} x^2+6 > 0 \\ 5x > 0 \end{cases} $$, следовательно $$x>0$$
2. Так как основания логарифмов одинаковы, то приравняем аргументы: $$x^2+6 = 5x$$
3. Перенесем все в левую часть: $$x^2-5x+6=0$$
4. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$
5. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 2; 3