5. Решите задачу. В треугольнике АВС дано: угол С=90°, АС = 6см,ВС= 8см, СМ - медиана, Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника, СК = 12см, найдите КМ.

В треугольнике ABC дан угол C=90°, AC = 6 см, BC = 8 см, CM - медиана, CK перпендикулярна плоскости треугольника, CK = 12 см, найдите KM.

1. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$.
2. Так как CM - медиана, проведенная к гипотенузе, то она равна половине гипотенузы: $$CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ см}$$.
3. Треугольник CKM - прямоугольный, так как CK перпендикулярна плоскости треугольника ABC, следовательно, CK перпендикулярна CM.
4. Найдем KM по теореме Пифагора: $$KM = \sqrt{CK^2 + CM^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$.

Ответ: 13 см