5. Решите задачу. Даны три натуральных числа. Первое на столько же меньше второго, на сколько третье больше второго. Квад рат второго числа на 36 больше произведения первого и третьего чисел. На сколько наибольшее из этих чисел больше наименьшего?

Обозначим числа как \(a\), \(b\) и \(c\). Из условия задачи следует: 1. Первое число на столько же меньше второго, на сколько третье больше второго: \(b - a = c - b\). 2. Квадрат второго числа на 36 больше произведения первого и третьего чисел: \(b^2 = ac + 36\). Из первого уравнения выразим \(a\) и \(c\) через \(b\) и некоторую разность \(d\): \[a = b - d\] \[c = b + d\] Подставим эти выражения во второе уравнение: \[b^2 = (b - d)(b + d) + 36\] \[b^2 = b^2 - d^2 + 36\] Решим уравнение относительно \(d^2\): \[d^2 = 36\] \[d = 6\], так как \(d\) - натуральное число\] Теперь мы знаем, что \(d = 6\). Чтобы найти числа, составим таблицу: | b (второе число) | a (первое число, b - 6) | c (третье число, b + 6) | ac + 36 | \(b^2\) | | :----------------: | :---------------------: | :---------------------: | :------: | :------: | | 7 | 1 | 13 | 49 | 49 | | 8 | 2 | 14 | 64 | 64 | | 9 | 3 | 15 | 81 | 81 | | 10 | 4 | 16 | 100 | 100 | | 11 | 5 | 17 | 121 | 121 | | 12 | 6 | 18 | 144 | 144 | Значит, числа могут быть разными, но разность между наибольшим и наименьшим числом всегда равна \(c - a = (b + d) - (b - d) = 2d = 2 \cdot 6 = 12\). Наибольшее из этих чисел больше наименьшего на 12.