Рукописная запись: $((x+1)/(x-2))² − 16((x-2)/(x+1))² = 15$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Рукописная запись: $((x+1)/(x-2))² − 16((x-2)/(x+1))² = 15$.$ Фото задания

Рукописная запись: $((x+1)/(x-2))² − 16((x-2)/(x+1))² = 15$.

Accepted Answer

Рассматриваю рукописную запись как уравнение $\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2-16\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2=15$. Область допустимых значений: $x\ne2$ и $x\ne-1$.

Обозначим $y=\frac{x+1}{x-2}$. Тогда $\frac{x-2}{x+1}=\frac1y$, и уравнение становится $y^2-\frac{16}{y^2}=15$. Пусть $z=y^2$, где $z>0$. Получаем $z-\frac{16}{z}=15$, откуда $z^2-15z-16=0$, то есть $(z-16)(z+1)=0$. С учётом $z>0$, имеем $z=16$, поэтому $y=4$ или $y=-4$.

При $y=4$: $\frac{x+1}{x-2}=4$, откуда $x=3$. При $y=-4$: $\frac{x+1}{x-2}=-4$, откуда $x=\frac75$. Оба значения допустимы.

Ответ: $x=\frac75;\ 3$.

Рукописная запись: \(((x+1)/(x-2))² − 16((x-2)/(x+1))² = 15\).

Ответ: