Рукописное уравнение: \(5^{-x+1}+5\cdot5^x=500\).

Объединим степени числа 5: \(5^{-x+1}=5\cdot5^{-x}\). Введём замену \(t=5^x\), где \(t>0\). Тогда \(5^{-x}=\frac{1}{t}\), и уравнение принимает вид \(\frac{5}{t}+5t=500\).

Делим на 5: \(\frac{1}{t}+t=100\). Умножаем на \(t\): \(t^2-100t+1=0\).

По формуле корней \(t=\frac{100\pm\sqrt{10000-4}}{2}=50\pm\sqrt{2499}\). Оба значения положительны, поэтому оба допустимы для замены \(t=5^x\).

Возвращаемся к переменной \(x\): \(x=\log_5(50+\sqrt{2499})\) или \(x=\log_5(50-\sqrt{2499})\).

Ответ: \(x=\log_5(50+\sqrt{2499})\) или \(x=\log_5(50-\sqrt{2499})\).