Рыбак, забросив удочку, в среднем ждёт поклёвки \(\theta = 4\) мин. а) Напишите уравнение функции плотности для случайной величины «срок ожидания поклёвки в минутах». б) Найдите вероятность того, что рыбак, забросив удочку, будет ждать поклёвки не менее 5 мин.

Решение:

Срок ожидания поклёвки — это случайная величина, имеющая показательное распределение. Параметр \( \theta \) равен среднему времени ожидания.

а) Уравнение функции плотности:

Для показательного распределения функция плотности имеет вид \( f(t) = \frac{1}{\theta} e^{-\frac{t}{\theta}} \) при \( t \ge 0 \), где \( t \) — время в минутах.

В данном случае \( \theta = 4 \) мин. Следовательно, функция плотности:

\( f(t) = \frac{1}{4} e^{-\frac{t}{4}} \), при \( t \ge 0 \).

б) Вероятность того, что рыбак будет ждать поклёвки не менее 5 мин:

Нам нужно найти \( P(T \ge 5) \). Это вычисляется как интеграл от функции плотности от 5 до бесконечности:

\( P(T \ge 5) = \int_{5}^{\infty} \frac{1}{4} e^{-\frac{t}{4}} dt \)

Вычислим интеграл:

\[ \int \frac{1}{4} e^{-\frac{t}{4}} dt = \frac{1}{4} \cdot \frac{e^{-\frac{t}{4}}}{-\frac{1}{4}} = -e^{-\frac{t}{4}} \]

Теперь подставим пределы интегрирования:

\[ \left[ -e^{-\frac{t}{4}} \right]_{5}^{\infty} = \lim_{b \to \infty} (-e^{-\frac{b}{4}}) - (-e^{-\frac{5}{4}}) = 0 + e^{-\frac{5}{4}} = e^{-\frac{5}{4}} \]

Значение \( e^{-\frac{5}{4}} \) приблизительно равно \( 0.2865 \).

Ответ: а) \( f(t) = \frac{1}{4} e^{-\frac{t}{4}} \) при \( t \ge 0 \); б) \( e^{-\frac{5}{4}} \) (или приблизительно 0.2865).