У просёлочной дороги уставший пешеход ожидает попутную машину. В среднем по дороге в нужном направлении проходит 5 машин в час. а) Напишите уравнение функции плотности для случайной величины «время ожидания попутного автомобиля в минутах».

Решение:

Интенсивность поступления машин \( \lambda = 5 \) машин в час. Время ожидания попутного автомобиля — случайная величина, распределённая по показательному закону.

Сначала переведём интенсивность в машины в минуту:

\( \lambda = 5 \) машин/час = \( \frac{5}{60} \) машин/мин = \( \frac{1}{12} \) машин/мин.

Параметр \( \theta \) показательного распределения равен среднему времени ожидания, которое является величиной, обратной интенсивности:

\( \theta = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12 \) минут.

Функция плотности вероятности для времени ожидания \( t \) в минутах имеет вид:

\( f(t) = \frac{1}{\theta} e^{-\frac{t}{\theta}} \) при \( t \ge 0 \).

Подставляем \( \theta = 12 \):

\( f(t) = \frac{1}{12} e^{-\frac{t}{12}} \) при \( t \ge 0 \).

Ответ: \( f(t) = \frac{1}{12} e^{-\frac{t}{12}} \) при \( t \ge 0 \).