Среднее время безотказной работы мобильного телефона определённой модели составляет 2 года. Какова вероятность того, что телефон проработает без поломок: а) не менее года; б) не менее 2 лет; в) не менее 4 лет?

Решение:

Среднее время работы модели телефона — это параметр \( \theta \) в показательном распределении. \( \theta = 2 \) года.

Функция плотности вероятности: \( f(t) = \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} \) при \( t \ge 0 \).

а) Вероятность того, что телефон проработает не менее года (\( P(T \ge 1) \)):

\( P(T \ge 1) = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} dt = \left[ -e^{-\frac{t}{2}} \right]_{1}^{\infty} = 0 - (-e^{-\frac{1}{2}}) = e^{-\frac{1}{2}} \)

б) Вероятность того, что телефон проработает не менее 2 лет (\( P(T \ge 2) \)):

\( P(T \ge 2) = \int_{2}^{\infty} \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} dt = \left[ -e^{-\frac{t}{2}} \right]_{2}^{\infty} = 0 - (-e^{-\frac{2}{2}}) = e^{-1} \)

в) Вероятность того, что телефон проработает не менее 4 лет (\( P(T \ge 4) \)):

\( P(T \ge 4) = \int_{4}^{\infty} \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} dt = \left[ -e^{-\frac{t}{2}} \right]_{4}^{\infty} = 0 - (-e^{-\frac{4}{2}}) = e^{-2} \)

Ответ: а) \( e^{-\frac{1}{2}} \); б) \( e^{-1} \); в) \( e^{-2} \).