Случайная величина Т имеет показательное распределение с параметром $\theta = 1$. Найдите вероятности событий: а) P(T $\ge$ 2); б) P(1 $\le$ T $\le$ 2); в) Р(Т $\le$ -2); г) Р(Т $\ge$ -2); д) Р(1 $\le$ T <$\le$ 3).

Question

Вопрос: $Фото задания: Случайная величина Т имеет показательное распределение с параметром $\theta = 1$. Найдите вероятности событий: а) P(T…$ Фото задания

Случайная величина Т имеет показательное распределение с параметром $\theta = 1$. Найдите вероятности событий: а) P(T $\ge$ 2); б) P(1 $\le$ T $\le$ 2); в) Р(Т $\le$ -2); г) Р(Т $\ge$ -2); д) Р(1 $\le$ T <$\le$ 3).

Accepted Answer

Решение:

Для показательного распределения функция плотности вероятности имеет вид $ f(t) = \frac{1}{\theta} e^{-\frac{t}{\theta}} $ при $ t \ge 0 $ и $ f(t) = 0 $ при $ t < 0 $. В данном случае $ \theta = 1 $, поэтому $ f(t) = e^{-t} $ при $ t \ge 0 $.

Вероятность вычисляется как интеграл от функции плотности:

а) P(T $\ge$ 2)

$ P(T \ge 2) = \int_{2}^{\infty} e^{-t} dt = \left[ -e^{-t} \right]_{2}^{\infty} = 0 - (-e^{-2}) = e^{-2} $

б) P(1 $\le$ T $\le$ 2)

$ P(1 \le T \le 2) = \int_{1}^{2} e^{-t} dt = \left[ -e^{-t} \right]_{1}^{2} = -e^{-2} - (-e^{-1}) = e^{-1} - e^{-2} $

в) Р(Т $\le$ -2)

Так как показательное распределение определено для $ t \ge 0 $, вероятность того, что $ T $ будет меньше или равно отрицательному числу, равна 0.

$ P(T \le -2) = 0 $

г) Р(Т $\ge$ -2)

Так как $ T $ неотрицательная случайная величина, $ P(T \ge -2) = P(T \ge 0) = 1 $.

д) Р(1 $\le$ T <$\le$ 3)

$ P(1 \le T \le 3) = \int_{1}^{3} e^{-t} dt = \left[ -e^{-t} \right]_{1}^{3} = -e^{-3} - (-e^{-1}) = e^{-1} - e^{-3} $

Ответ: а) $ e^{-2} $; б) $ e^{-1} - e^{-2} $; в) 0; г) 1; д) $ e^{-1} - e^{-3} $.