Случайная величина Т имеет показательное распределение с параметром \(\theta\). Найдите вероятности следующих событий: a) P(T \(\ge\) 2\(\theta\)); б) P(\(\theta\) \(\le\) T \(\le\) 2\(\theta\)); в) Р(Т \(\le\) -2\(\theta\)); г) Р(Т \(\ge\) -2\(\theta\)); д) Р(\(\theta\) \(\le\) T \(\le\) 3\(\theta\)).

Решение:

Для показательного распределения функция плотности вероятности имеет вид \( f(t) = \frac{1}{\theta} e^{-\frac{t}{\theta}} \) при \( t \ge 0 \) и \( f(t) = 0 \) при \( t < 0 \).

Вероятность вычисляется как интеграл от функции плотности:

а) P(T \(\ge\) 2\(\theta\))

\( P(T \ge 2\theta) = \int_{2\theta}^{\infty} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{t}{\theta}} dt = \left[ -e^{-\frac{t}{\theta}} \right]_{2\theta}^{\infty} = 0 - (-e^{-\frac{2\theta}{\theta}}) = e^{-2} \)

б) P(\(\theta\) \(\le\) T \(\le\) 2\(\theta\))

\( P(\theta \le T \le 2\theta) = \int_{\theta}^{2\theta} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{t}{\theta}} dt = \left[ -e^{-\frac{t}{\theta}} \right]_{\theta}^{2\theta} = -e^{-\frac{2\theta}{\theta}} - (-e^{-\frac{\theta}{\theta}}) = e^{-1} - e^{-2} \)

в) Р(Т \(\le\) -2\(\theta\))

Так как показательное распределение определено для \( t \ge 0 \) и \( \theta > 0 \), вероятность того, что \( T \) будет меньше или равно отрицательному числу, равна 0.

\( P(T \le -2\theta) = 0 \)

г) Р(Т \(\ge\) -2\(\theta\))

Так как \( T \) неотрицательная случайная величина, \( P(T \ge -2\theta) = P(T \ge 0) = 1 \).

д) Р(\(\theta\) \(\le\) T \(\le\) 3\(\theta\))

\( P(\theta \le T \le 3\theta) = \int_{\theta}^{3\theta} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{t}{\theta}} dt = \left[ -e^{-\frac{t}{\theta}} \right]_{\theta}^{3\theta} = -e^{-\frac{3\theta}{\theta}} - (-e^{-\frac{\theta}{\theta}}) = e^{-1} - e^{-3} \)

Ответ: а) \( e^{-2} \); б) \( e^{-1} - e^{-2} \); в) 0; г) 1; д) \( e^{-1} - e^{-3} \).