С.1.100. Упростите выражение: 1) $(m-n):(m^{1/2}-n^{1/2})$; 2) $\dfrac{1-m^{-1/2}}{1+m^{1/2}}-\dfrac{m^{1/2}+m^{-1/2}}{m-1}$; 3) $(m^{1/2}+m^{2/3}+m^{7/12})(m^{1/3}-m^{5/12})$; 4) $\dfrac{m-1}{m^{3/4}+m^{1/2}}\cdot\dfrac{m^{0.5}+m^{0.25}}{m^{0.5}+1}\cdot m^{0.25}+1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: С.1.100. Упростите выражение: 1) $(m-n):(m^{1/2}-n^{1/2})$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим разность квадратов:
$\dfrac{m-n}{\sqrt m-\sqrt n}=\dfrac{(\sqrt m-\sqrt n)(\sqrt m+\sqrt n)}{\sqrt m-\sqrt n}=\sqrt m+\sqrt n$.
Положим $x=\sqrt m$. Тогда
$\dfrac{1-m^{-1/2}}{1+m^{1/2}}-\dfrac{m^{1/2}+m^{-1/2}}{m-1}=\dfrac{x-1}{x(x+1)}-\dfrac{x^2+1}{x(x-1)(x+1)}$
$=\dfrac{(x-1)^2-(x^2+1)}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{-2x}{x(x^2-1)}=-\dfrac{2}{m-1}$.
Положим $x=m^{1/12}$. Тогда выражение равно
$(x^6+x^8+x^7)(x^4-x^5)=x^{10}-x^{11}+x^{12}-x^{13}+x^{11}-x^{12}=x^{10}-x^{13}$.
Следовательно, результат: $m^{5/6}-m^{13/12}$.
Положим $x=m^{1/4}$. Тогда
$\dfrac{m-1}{m^{3/4}+m^{1/2}}\cdot\dfrac{m^{1/2}+m^{1/4}}{m^{1/2}+1}\cdot m^{1/4}+1$
$=\dfrac{x^4-1}{x^3+x^2}\cdot\dfrac{x^2+x}{x^2+1}\cdot x+1=\dfrac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^2(x+1)}\cdot\dfrac{x(x+1)}{x^2+1}\cdot x+1$
$=x^2-1+1=x^2=\sqrt m$.

Ответ: 1) $\sqrt m+\sqrt n$; 2) $-\dfrac{2}{m-1}$; 3) $m^{5/6}-m^{13/12}$; 4) $\sqrt m$.

С.1.100. Упростите выражение: 1) \((m-n):(m^{1/2}-n^{1/2})\); 2) \(\dfrac{1-m^{-1/2}}{1+m^{1/2}}-\dfrac{m^{1/2}+m^{-1/2}}{m-1}\); 3) \((m^{1/2}+m^{2/3}+m^{7/12})(m^{1/3}-m^{5/12})\); 4) \(\dfrac{m-1}{m^{3/4}+m^{1/2}}\cdot\dfrac{m^{0.5}+m^{0.25}}{m^{0.5}+1}\cdot m^{0.25}+1\).