С.1.101. Найдите значение выражения \(\dfrac{p-t}{p^{3/4}+p^{1/2}t^{1/4}}-\dfrac{p^{1/2}-t^{1/2}}{p^{1/4}+t^{1/4}}\) при \(p=\dfrac1{16};\ t=\dfrac1{81}\).

Положим \(x=p^{1/4}\), \(y=t^{1/4}\). Тогда первое слагаемое:

\(\dfrac{x^4-y^4}{x^3+x^2y}=\dfrac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{x^2(x+y)}=\dfrac{(x-y)(x^2+y^2)}{x^2}\).

Второе слагаемое равно \(\dfrac{x^2-y^2}{x+y}=x-y\). Поэтому всё выражение равно \(\dfrac{(x-y)y^2}{x^2}\).

При заданных значениях \(x=\dfrac12\), \(y=\dfrac13\):

\(\dfrac{(x-y)y^2}{x^2}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{9}\div\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{27}\).

Ответ: \(\dfrac{2}{27}\).