С—15, В—1. 1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет. 2. Из точки M биссектрисы тупого угла проведены перпендикуляры MA и MK к сторонам этого угла. Докажите, что MA = MK.

1. Второй острый угол равен \(30°\). В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы. Пусть меньший катет равен \(x\), тогда гипотенуза равна \(2x\).

По условию: \(x+2x=18\), откуда \(3x=18\), \(x=6\) см. Гипотенуза равна \(2\cdot6=12\) см.

Ответ: гипотенуза — 12 см, меньший катет — 6 см.

2. Обозначим вершину угла через O. Треугольники OMA и OMK прямоугольные: \(MA\perp OA\), \(MK\perp OK\). Отрезок OM — их общая гипотенуза. Так как OM лежит на биссектрисе, \(\angle AOM=\angle MOK\). Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому соответствующие катеты равны: \(MA=MK\).