С—15, В—2. 1. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 2 раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет. 2. Из точки K биссектрисы острого угла проведены перпендикуляры KP и KF к сторонам угла. Докажите, что KP = KF.

1. Пусть меньший острый угол равен \(x\), тогда больший равен \(2x\). Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°: \(x+2x=90°\), поэтому \(x=30°\), а другой угол равен 60°.

Меньший катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы. Пусть катет равен \(a\), гипотенуза — \(2a\). Тогда \(2a-a=15\), откуда \(a=15\) см; гипотенуза равна 30 см.

Ответ: гипотенуза — 30 см, меньший катет — 15 см.

2. Обозначим вершину угла через O. Треугольники OKP и OKF прямоугольные; у них общая гипотенуза OK. Поскольку точка K лежит на биссектрисе, острые углы при O равны. Значит, треугольники равны по гипотенузе и острому углу, поэтому \(KP=KF\).