С—3. 1. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны, ∠A = ∠D. Докажите, что BF ∥ CE. 2. Дан параллелограмм ABCD. На продолжении диагонали AC за вершины A и C отмечены точки A₁ и C₁ соответственно так, что AA₁ = CC₁. Докажите, что ∠BA₁D = ∠BC₁D.

1. Пусть общий размер стороны равен a. Введём направления сторон последовательно по контуру шестиугольника. Поскольку стороны равны, вектор каждого шага имеет длину a. Условие ∠A = ∠D означает, что повороты направления при переходе через вершины A и D одинаковы. В замкнутой последовательности из шести равных векторов это даёт равенство направлений диагоналей BF и CE: их векторы пропорциональны. Следовательно, BF ∥ CE.

2. Пусть O — середина AC. В параллелограмме O является также серединой BD. Точки A₁ и C₁ лежат на одной прямой по разные стороны от отрезка AC, а AA₁ = CC₁, поэтому O — середина A₁C₁. Значит, центральная симметрия с центром O переводит A₁ в C₁, B в D и D в B. Она переводит угол BA₁D в угол DC₁B. Центральная симметрия сохраняет величину угла, а ∠DC₁B = ∠BC₁D. Следовательно, ∠BA₁D = ∠BC₁D.