С—4. 1. В трапеции MNPK MK — большее основание. Прямые MN и PK пересекаются в точке E, ∠MEK = 80°, ∠ENP = 40°. Найдите углы трапеции. 2. В прямоугольной трапеции острый угол равен 60°. Большая боковая сторона и большее основание равны по 20 см. Найдите меньшее основание.

1. Поскольку E, M, N лежат на одной прямой, лучи EM и EN противоположны; аналогично, лучи EK и EP противоположны. Поэтому ∠NEP = ∠MEK = 80°. В треугольнике ENP третий угол ∠EPN = 180° − 80° − 40° = 60°. Углы трапеции при N и P смежны с углами треугольника ENP соответственно: ∠N = 180° − 40° = 140°, ∠P = 180° − 60° = 120°. Так как основания параллельны, соседние углы при каждой боковой стороне в сумме равны 180°: ∠M = 40°, ∠K = 60°.

2. Опустим высоту из конца меньшего основания на большее. У прямоугольной трапеции горизонтальная разность оснований вместе с высотой и наклонной боковой стороной образует прямоугольный треугольник. Наклонная боковая сторона — большая, её длина 20 см; она образует угол 60° с основанием. Поэтому разность оснований равна горизонтальной проекции этой стороны: 20 · cos 60° = 10 см. Меньшее основание равно 20 − 10 = 10 см.

Ответ: 1) ∠M = 40°, ∠N = 140°, ∠P = 120°, ∠K = 60°; 2) 10 см.