С-3. 1. В выпуклом шестиугольнике ABCDEP все стороны равны, ∠A = ∠D. Докажите, что BP ∥ CE. 2. Дан параллелограмм ABCD. На продолжении диагонали AC за вершины A и C отмечены точки A₁ и C₁ соответственно, причём AA₁ = CC₁. Докажите, что ∠BA₁D = ∠BC₁D.

1. Условие и требуемый вывод не определяют доказательство однозначно: равенство всех сторон и только одной пары углов само по себе не задаёт форму выпуклого шестиугольника. Нужны дополнительные условия, например равенства или параллельности отдельных диагоналей либо углов. Пришлите, пожалуйста, изображение этого задания крупнее или проверьте, нет ли в условии дополнительных обозначений.

2. Пусть O — середина AC. В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому O — также середина BD. Точки A₁ и C₁ лежат на прямой AC по разные стороны от отрезка AC; поскольку AA₁ = CC₁, середина отрезка A₁C₁ тоже O.

Центральная симметрия с центром O переводит A₁ в C₁, B в D, а D в B. Поэтому лучи A₁B и C₁D, а также A₁D и C₁B попарно переходят друг в друга; величина угла при преобразовании сохраняется. Следовательно, ∠BA₁D = ∠BC₁D.