С2. Хорда АВ делится точкой С на отрезки 9 см и 12 см. Найдите расстояние от центра окружности до точки С, если диаметр окружности равен 24 см.

Пусть O - центр окружности, AC = 9 см, CB = 12 см. Тогда AB = AC + CB = 9 + 12 = 21 см. Диаметр окружности равен 24 см, следовательно, радиус R = 12 см.

1. Проведем перпендикуляр OC к хорде AB. Пусть M - середина хорды AB. Тогда AM = MB = AB/2 = 21/2 = 10.5 см.
2. Тогда MC = AC - AM = 9 - 10.5 = -1.5 см. Значит, точка M лежит между точками C и B. MC = 1.5 см.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMC. OM - расстояние от центра окружности до середины хорды. OC - расстояние от центра окружности до точки C.
4. Чтобы найти расстояние от центра окружности до точки С, можно использовать свойство, что если продолжить отрезок OC до пересечения с окружностью в точке D, то AC * CB = DC * CE, где E - точка пересечения DC с окружностью. Но это не поможет найти OC напрямую.
5. Так как M - середина AB, то OM ⊥ AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMB, где OB = R = 12 см, MB = 10.5 см. Тогда по теореме Пифагора: $$OM^2 = OB^2 - MB^2 = 12^2 - 10.5^2 = 144 - 110.25 = 33.75$$ $$OM = \sqrt{33.75} ≈ 5.81$$
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMC. MC = 1.5 см, OM ≈ 5.81 см. Тогда по теореме Пифагора: $$OC^2 = OM^2 + MC^2 = 33.75 + 1.5^2 = 33.75 + 2.25 = 36$$ $$OC = \sqrt{36} = 6$$

Ответ: 6 см