С1. Окружность касается сторон MN, NK и МК треугольника MNK в точках А, В, С соответственно. Найдите градусную меру дуги АС, если ∠MNK = 72°, ∠NKM = 64°.

Окружность касается сторон треугольника MNK в точках A, B, C. Тогда отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Следовательно, NA = NB, KA = KC и MC = MB.

1. Найдем угол NKM (угол N): $$∠NKM = 180° - ∠MNK - ∠NKM = 180° - 72° - 64° = 44°$$
2. Так как ∠MNK = 72°, ∠NKM = 64° найдем угол при вершине M: $$∠KMN = 180° - (72° + 64°) = 44°$$

3. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними. Пусть O - центр окружности.

   Рассмотрим четырехугольник ANKC. Углы ∠NAC = ∠KCA = 90°, так как касательные перпендикулярны радиусу, проведенному в точку касания.

   Сумма углов в четырехугольнике равна 360°: $$∠NAC + ∠N + ∠KCA + ∠AKC = 360°$$ $$90° + 72° + 90° + ∠AKC = 360°$$ $$∠AKC = 360° - 90° - 72° - 90° = 108°$$

4. Центральный угол AОC равен 108°, следовательно, градусная мера дуги AC равна 108°.

Ответ: 108°