5. С наклонной плоскости, угол наклона которой 45°, соскальзывают два груза массой 2 кг (движется первым) и 1 кг, соединенные пружиной жесткостью 100 Н/м. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны соответственно 0,2 и 0,5. Найдите растяжение пружины при соскальзывании грузов.

5. Для решения этой задачи необходимо рассмотреть силы, действующие на каждый груз, и применить второй закон Ньютона.

Дано:

• Угол наклона плоскости, $$\alpha = 45^\circ$$.
• Масса первого груза, $$m_1 = 2 \text{ кг}$$.
• Масса второго груза, $$m_2 = 1 \text{ кг}$$.
• Жесткость пружины, $$k = 100 \text{ Н/м}$$.
• Коэффициент трения первого груза, $$\mu_1 = 0.2$$.
• Коэффициент трения второго груза, $$\mu_2 = 0.5$$.
• Ускорение свободного падения, $$g = 9.8 \text{ м/с}^2$$.

Найти: растяжение пружины, $$x$$.

Решение:

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза:

Для первого груза:

$$m_1 a = m_1 g \sin(\alpha) - \mu_1 m_1 g \cos(\alpha) - kx$$.

Для второго груза:

$$m_2 a = m_2 g \sin(\alpha) - \mu_2 m_2 g \cos(\alpha) + kx$$.

Сложим оба уравнения:

$$(m_1 + m_2) a = (m_1 + m_2) g \sin(\alpha) - (\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2) g \cos(\alpha)$$.

$$a = g \sin(\alpha) - \frac{(\mu_1 m_1 + \mu_2 m_2) g \cos(\alpha)}{(m_1 + m_2)}$$.

Подставим известные значения:

$$a = 9.8 \cdot \sin(45^\circ) - \frac{(0.2 \cdot 2 + 0.5 \cdot 1) \cdot 9.8 \cdot \cos(45^\circ)}{2 + 1}$$.

$$a = 9.8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{(0.4 + 0.5) \cdot 9.8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{3}$$.

$$a \approx 9.8 \cdot 0.707 - \frac{0.9 \cdot 9.8 \cdot 0.707}{3} \approx 6.929 - \frac{6.233}{3} \approx 6.929 - 2.078 \approx 4.851 \text{ м/с}^2$$.

Теперь найдем растяжение пружины из уравнения для второго груза:

$$kx = m_2 a - m_2 g \sin(\alpha) + \mu_2 m_2 g \cos(\alpha)$$.

$$x = \frac{m_2}{k} (a - g \sin(\alpha) + \mu_2 g \cos(\alpha))$$.

$$x = \frac{1}{100} (4.851 - 9.8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 0.5 \cdot 9.8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$$.

$$x = \frac{1}{100} (4.851 - 6.929 + 3.464) \approx \frac{1}{100} (1.386) \approx 0.01386 \text{ м}.$$

$$x \approx 0.014 \text{ м} = 1.4 \text{ см}.$$

Ответ: 1.4 см