3. С сортировочной горки, высота которой равна 40 м, а длина — 400 м, начинает спускаться вагон. Определите скорость вагона в конце сортировочной горки, если коэффициент сопротивления движению вагона равен 0,05.

3. Для решения задачи необходимо воспользоваться законом сохранения энергии, учитывая работу силы сопротивления.

Дано:

• Высота горки, $$h = 40 \text{ м}$$.
• Длина горки, $$L = 400 \text{ м}$$.
• Коэффициент сопротивления, $$\mu = 0.05$$.
• Ускорение свободного падения, $$g = 9.8 \text{ м/с}^2$$.

Найти: скорость вагона в конце горки, $$v$$.

Решение:

Угол наклона горки, $$\sin(\alpha) = \frac{h}{L} = \frac{40}{400} = 0.1$$.

Сила сопротивления:

$$F_\text{сопр} = \mu mg \cos(\alpha)$$.

Работа силы сопротивления:

$$A_\text{сопр} = -F_\text{сопр} \cdot L = -\mu mg \cos(\alpha) \cdot L$$.

Изменение потенциальной энергии:

$$\Delta U = -mgh$$.

Закон сохранения энергии:

$$\frac{mv^2}{2} = mgh + A_\text{сопр} = mgh - \mu mg \cos(\alpha) L$$.

$$v^2 = 2gh - 2\mu g \cos(\alpha) L$$.

$$v = \sqrt{2g(h - \mu L \cos(\alpha))}$$.

Учитывая, что $$\sin(\alpha) = 0.1$$, то $$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - 0.1^2} = \sqrt{0.99} \approx 0.995$$.

$$v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot (40 - 0.05 \cdot 400 \cdot 0.995)} \approx \sqrt{19.6 \cdot (40 - 19.9)} \approx \sqrt{19.6 \cdot 20.1} \approx \sqrt{393.96} \approx 19.85 \text{ м/с}.$$

Ответ: 19.85 м/с