С помощью разложения чисел на простые множители докажите, что являются взаимно простыми числа: 56 и 99

Решение:

Чтобы доказать, что числа 56 и 99 являются взаимно простыми, нужно разложить их на простые множители и показать, что у них нет общих простых множителей (то есть их наибольший общий делитель равен 1).

1. Разложим число 56 на простые множители:
   • \( 56 = 2 · 28 = 2 · 2 · 14 = 2 · 2 · 2 · 7 = 2^3 \cdot 7 \)
2. Разложим число 99 на простые множители:
   • \( 99 = 3 · 33 = 3 · 3 · 11 = 3^2 \cdot 11 \)
3. Сравним разложения:
   • \( 56 = 2^3 \cdot 7 \)
   • \( 99 = 3^2 \cdot 11 \)

Как видим, у чисел 56 и 99 нет общих простых множителей. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.

Ответ: Числа 56 и 99 являются взаимно простыми, так как их разложения на простые множители \( 2^3 \cdot 7 \) и \( 3^2 \cdot 11 \) не имеют общих множителей.