С2. Внутри треугольника АВС отмечена точка М. Через нее проведена прямая, параллельная стороне АС и пере- секающая стороны АВ и ВС соответственно в точках Д и Е, причем MD = AD, ME = EC. В каком отношений делят углы треугольника прямые МАA, MB, MC?

Так как MD = AD, то треугольник ADM равнобедренный, а значит, углы при основании AD равны: ∠DAM = ∠DMA.

Аналогично, так как ME = EC, то треугольник MEC равнобедренный, а значит, углы при основании EC равны: ∠EMC = ∠ECM.

По условию, прямая DE параллельна стороне AC, следовательно, ∠DMA = ∠MAC (как накрест лежащие углы) и ∠EMC = ∠MCA (как накрест лежащие углы).

Значит, ∠DAM = ∠MAC и ∠ECM = ∠MCA, то есть AM и CM - биссектрисы углов ∠BAC и ∠BCA соответственно.

По условию, ∠MD = AD, ME = EC.

Следовательно, ∠AMD = ∠MAD и ∠CME = ∠MCE.

То есть AM и CM - биссектрисы углов ∠BAC и ∠BCA соответственно.

Ответ: Прямые MA и MC делят углы ∠BAC и ∠BCA пополам, а величина угла ∠B остаётся неизменной.