С1. В прямоугольнике ABCD заданы стороны AD = a, CD = b, O — точка пересечения диагоналей. Найдите величину \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{OD}\right|\).

В прямоугольнике \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), поэтому эти слагаемые взаимно уничтожаются:

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{OD}.\)

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(\overrightarrow{OD}=\frac12\overrightarrow{AD}-\frac12\overrightarrow{AB}\). Следовательно, выражение равно \(\frac12\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AB}\). Векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AB}\) перпендикулярны, а их длины равны соответственно \(a\) и \(b\).

По теореме Пифагора модуль выражения равен

\(\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac b2\right)^2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\).