С2. ABCD — трапеция, в которой $\angle A=90^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$, $\angle ACD=90^\circ$, $AC=a$. Найдите величины $\left|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}\right|$ и $\left|\overrightarrow{CB}\right|-\left|\overrightarrow{CA}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|$.

Question

Вопрос: $Фото задания: С2. ABCD — трапеция, в которой $\angle A=90^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$, $\angle ACD=90^\circ$, $AC=a$. Найдите…$ Фото задания

С2. ABCD — трапеция, в которой $\angle A=90^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$, $\angle ACD=90^\circ$, $AC=a$. Найдите величины $\left|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}\right|$ и $\left|\overrightarrow{CB}\right|-\left|\overrightarrow{CA}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|$.

Accepted Answer

В трапеции $BC\parallel AD$. Из $\angle A=90^\circ$ следует, что $AB\perp BC$, поэтому треугольник ABC прямоугольный при B. Поскольку $\angle BCA=45^\circ$, он равнобедренный прямоугольный, и $|CB|=|AB|=\frac{a}{\sqrt2}$.

Так как $AC\perp CD$, а угол между AC и параллельными прямыми BC и AD равен $45^\circ$, треугольник ACD также равнобедренный прямоугольный. Значит, $|CD|=|AC|=a$.

Для первого выражения воспользуемся координатами: пусть $A=(0,0)$, $C=(\frac a{\sqrt2},\frac a{\sqrt2})$, $B=(0,\frac a{\sqrt2})$, $D=(a\sqrt2,0)$. Тогда

$\overrightarrow{CB}=(-\frac a{\sqrt2},0),\quad \overrightarrow{CA}=(-\frac a{\sqrt2},-\frac a{\sqrt2}),\quad \overrightarrow{CD}=(\frac a{\sqrt2},-\frac a{\sqrt2}).$

Отсюда $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}=(\frac a{\sqrt2},0)$, поэтому модуль равен $\frac a{\sqrt2}$.

Для второго выражения подставим найденные длины:

$|CB|-|CA|+|CD|=\frac a{\sqrt2}-a+a=\frac a{\sqrt2}.$

Ответ: обе величины равны $\frac a{\sqrt2}$.