С1. В треугольнике ABC стороны AB = 5, BC = 6, BD — биссектриса, ∠DBC = α. Найдите площадь треугольника DBC.

Так как BD — биссектриса угла ABC, то \(\angle ABD=\angle DBC=\alpha\), следовательно, \(\angle ABC=2\alpha\).

Площадь ABC равна \(\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin(2\alpha)=15\sin(2\alpha)\). Треугольники ABD и DBC имеют общую высоту из D к прямой AC, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований AD:DC. По теореме о биссектрисе \(AD:DC=AB:BC=5:6\).

Значит, \(S_{DBC}=\frac6{11}S_{ABC}=\frac{90}{11}\sin(2\alpha)\).

Ответ: \(\frac{90}{11}\sin(2\alpha)\).