С2. Определите, на какой высоте кинетическая энергия свободно падающего тела равна его потенциальной энергии, если на высоте 20 м скорость тела равна 4 м/с.

Дано:

• $$h_1 = 20$$ м
• $$v_1 = 4$$ м/с
• $$E_k = E_p$$

Решение:

Воспользуемся законом сохранения механической энергии. Полная механическая энергия системы (сумма кинетической и потенциальной энергии) сохраняется в отсутствие диссипативных сил (например, сопротивления воздуха).

\[ E_{полная} = E_k + E_p = ext{const} \]

Это означает, что полная энергия в любой момент времени одинакова.

В некоторой точке (обозначим ее как точку 1) на высоте $$h_1 = 20$$ м, скорость тела $$v_1 = 4$$ м/с. Полная энергия в этой точке:

\[ E_{полная} = E_{k1} + E_{p1} = rac{1}{2} m v_1^2 + mgh_1 \]

\[ E_{полная} = rac{1}{2} m (4)^2 + m g (20) \]

\[ E_{полная} = rac{1}{2} m (16) + 20mg \]

\[ E_{полная} = 8m + 20mg \]

Нас интересует высота $$h$$, на которой кинетическая энергия равна потенциальной энергии ($$E_k = E_p$$). В этой точке полная энергия равна:

\[ E_{полная} = E_k + E_p = E_p + E_p = 2 E_p \]

Или:

\[ E_{полная} = E_k + E_p = E_k + E_k = 2 E_k \]

То есть, в интересующей нас точке $$h$$, $$E_p = mgh$$ и $$E_k = rac{1}{2}mv^2$$. Условие $$E_k = E_p$$ означает, что:

\[ rac{1}{2}mv^2 = mgh \]

Сокращая массу $$m$$ (при условии $$m eq 0$$), получаем:

\[ rac{1}{2}v^2 = gh \]

Теперь приравняем полную энергию в точке 1 к полной энергии в интересующей нас точке:

\[ 8m + 20mg = 2 E_p = 2 mgh \]

Разделим обе части на $$m$$:

\[ 8 + 20g = 2gh \]

Если принять $$g \approx 10$$ м/с²:

\[ 8 + 20(10) = 2(10)h \]

\[ 8 + 200 = 20h \]

\[ 208 = 20h \]

\[ h = \frac{208}{20} \]

\[ h = 10.4 \text{ м} \]

Альтернативный подход:

Мы знаем, что $$E_k = E_p$$. Это значит, что полная энергия $$E_{полная} = E_k + E_p = 2 E_p = 2 mgh$$.

Мы также знаем, что $$E_{полная} = E_{k1} + E_{p1} = rac{1}{2} m v_1^2 + mgh_1$$.

\[ 2mgh = rac{1}{2} m v_1^2 + mgh_1 \]

Разделим на $$m$$:

\[ 2gh = rac{1}{2} v_1^2 + gh_1 \]

Подставим значения ($$g=10$$ м/с²):

\[ 2(10)h = rac{1}{2} (4)^2 + 10(20) \]

\[ 20h = rac{1}{2} (16) + 200 \]

\[ 20h = 8 + 200 \]

\[ 20h = 208 \]

\[ h = \frac{208}{20} = 10.4 \text{ м} \]

Ответ: 10.4 м.