С2. Полый свинцовый шар массой 5,25 кг плавает в воде, погрузившись наполовину. Определите объем полости, если плотности воды и свинца равны соответственно 1000 кг/м³ и 10 500 кг/м³.

Решение:

1. Поскольку шар плавает, сила Архимеда равна силе тяжести:
   \( F_A = F_T \)
2. Сила тяжести шара: \( F_T = m_{\text{шара}} g = 5,25 \text{ кг} · g \)
3. Объем погруженной части шара равен половине его полного объема. Полный объем шара равен сумме объема свинца и объема полости. Обозначим объем полости как \( V_{\text{п}} \), а объем свинца как \( V_{\text{св}} \). Тогда полный объем шара \( V_{\text{полн}} = V_{\text{св}} + V_{\text{п}} \).
4. Объем погруженной части: \( V_{\text{погр}} = \frac{1}{2} V_{\text{полн}} = \frac{1}{2} (V_{\text{св}} + V_{\text{п}}) \).
5. Сила Архимеда: \( F_A = \rho_{\text{в}} V_{\text{погр}} g = \rho_{\text{в}} \frac{1}{2} (V_{\text{св}} + V_{\text{п}}) g \)
6. Приравниваем силы:
   \( 5,25 \text{ кг} · g = \rho_{\text{в}} \frac{1}{2} (V_{\text{св}} + V_{\text{п}}) g \)
7. Сокращаем \( g \):
   \( 5,25 = \rho_{\text{в}} \frac{1}{2} (V_{\text{св}} + V_{\text{п}}) \)
8. Также мы знаем, что масса шара состоит из массы свинца и массы воздуха в полости (массой воздуха пренебрегаем, так как она мала по сравнению с массой свинца):
   \( m_{\text{шара}} = m_{\text{св}} \)
9. Масса свинца: \( m_{\text{св}} = \rho_{\text{св}} V_{\text{св}} \)
10. Тогда \( 5,25 \text{ кг} = \rho_{\text{св}} V_{\text{св}} \)
11. Выразим \( V_{\text{св}} \):
    \( V_{\text{св}} = \frac{5,25 \text{ кг}}{\rho_{\text{св}}} = \frac{5,25 \text{ кг}}{10500 \text{ кг/м}^3} = 0,0005 \text{ м}^3 \)
12. Теперь подставим \( V_{\text{св}} \) в уравнение для плавания:
    \( 5,25 = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot \frac{1}{2} (0,0005 \text{ м}^3 + V_{\text{п}}) \)
    \( 5,25 = 500 (0,0005 + V_{\text{п}}) \)
    \( \frac{5,25}{500} = 0,0005 + V_{\text{п}} \)
    \( 0,0105 = 0,0005 + V_{\text{п}} \)
    \( V_{\text{п}} = 0,0105 - 0,0005 = 0,0100 \text{ м}^3 \)

Ответ: 0,01 м³.