Самостоятельная работа по теме: «Преобразование целых выражений» II вариант №1 Докажите тождество: a) (a + b)²(a - b) - 2ab(b - a) - 6ab(a - b) = (a - b)³; б) (a + b)(a - b)² + 2ab(a + b) - 2ab(-a - b) = (a + b)³.

Решение:

1. а) Докажем тождество:
   Левая часть:
   \[ (a + b)^2(a - b) - 2ab(b - a) - 6ab(a - b) \] Приведем все члены к одному виду, заменив
   \[ (b - a) = -(a - b) \] \[ (a + b)^2(a - b) + 2ab(a - b) - 6ab(a - b) \] Вынесем общий множитель
   \[ (a - b) \] \[ (a - b) [ (a + b)^2 + 2ab - 6ab ] \] Раскроем скобки и приведем подобные члены: \[ (a - b) [ a^2 + 2ab + b^2 + 2ab - 6ab ] \] \[ (a - b) [ a^2 - 2ab + b^2 ] \] Свернем выражение в квадрат разности: \[ (a - b) (a - b)^2 \] \[ (a - b)^3 \] Правая часть тождества равна
   \[ (a - b)^3 \] Левая часть равна правой, тождество доказано. б) Докажем тождество: Левая часть: \[ (a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-a - b) \] Раскроем скобки: \[ (a + b)(a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2b + 2ab^2 + 2a^2b + 2ab^2 \] \[ a^3 - 2a^2b + ab^2 + a^2b - 2ab^2 + b^3 + 4a^2b + 4ab^2 \] Приведем подобные члены: \[ a^3 + (-2a^2b + a^2b + 4a^2b) + (ab^2 - 2ab^2 + 4ab^2) + b^3 \] \[ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] Свернем по формуле куба суммы: \[ (a + b)^3 \] Правая часть тождества равна
   \[ (a + b)^3 \] Левая часть равна правой, тождество доказано.