25. Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 36, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 91° и 149°.

Решение: Так как точка M равноудалена от всех вершин четырехугольника ABCD, то MA = MB = MC = MD. Это означает, что вокруг четырехугольника можно описать окружность с центром в точке M, и AD является диаметром этой окружности. Поскольку MA = MB = MC = MD, треугольники ABM, BCM и CDM - равнобедренные. \(\angle ABM = \angle BAM\) и \(\angle CDM = \angle DCM\) Пусть \(\angle BAM = \alpha\) и \(\angle DCM = \beta\). Тогда \(\angle ABC = \angle ABM + \angle MBC = 91^\circ\) и \(\angle BCD = \angle BCM + \angle MCD = 149^\circ\). Так как AM = BM = CM, то углы \(\angle MBC = \angle MCB\). Обозначим их как \(\gamma\). Тогда, \(\alpha + \gamma = 91^\circ\) и \(\gamma + \beta = 149^\circ\). Сумма углов четырехугольника равна 360°: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\). \(\alpha + 91^\circ + 149^\circ + \beta = 360^\circ\) \(\alpha + \beta = 360^\circ - 91^\circ - 149^\circ = 120^\circ\) Из уравнений \(\alpha + \gamma = 91^\circ\) и \(\gamma + \beta = 149^\circ\), выразим \(\gamma\): \(\gamma = 91^\circ - \alpha\) и \(\gamma = 149^\circ - \beta\). Тогда \(91^\circ - \alpha = 149^\circ - \beta\). \(\beta - \alpha = 149^\circ - 91^\circ = 58^\circ\). У нас есть система уравнений: \(\alpha + \beta = 120^\circ\) \(\beta - \alpha = 58^\circ\) Сложим уравнения: 2\(\beta\) = 178°, \(\beta\) = 89°. Тогда \(\alpha\) = 120° - 89° = 31°. Поскольку \(\angle CMD\) центральный, то он равен углу BCD. Так как \(\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ\) то \(\gamma + \beta = 149\), то \(\angle MBC = 149\). \(\angle BAC = 149\). В четырехугольник вписана окружность, следовательно, \(\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ\) и \(\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ\). Тогда \(\angle BCD + \angle BAD = 360^\circ\). Используем теорему синусов для треугольника ABC: \(\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}\). В нашем случае AD = 2R, где R - радиус описанной окружности. А так как точки B и C лежат на окружности с центром M, то BM = CM = R. Рассмотрим треугольник BMC. BM = CM, и BC = 36. \(\angle BMC = 2 \angle BAC\). Так как \(\angle BAC = \alpha\) a\(\angle ADC = \beta\) и \(\alpha + \beta = 120\). Поскольку \(\angle C=149\), \(\angle B=91\), следовательно \(\angle BAD + \angle ADC = 360-149-91=120\). AD = 60. Ответ: 60