24. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА и СС1. Докажите, что углы СС1А1 и САА, равны.

Доказательство: 1. Рассмотрим четырехугольник \(A_1BC_1C\). Так как \(\angle BA_1C = 90^\circ\) и \(\angle BC_1C = 90^\circ\), то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность, т.к. сумма противоположных углов равна 180 градусов. 2. Углы \(CC_1A_1\) и \(CA_1A\) опираются на одну и ту же дугу CA в этой окружности. Следовательно, углы равны: \(\angle CC_1A_1 = \angle CA_1A\). 3. Рассмотрим треугольники \(AA_1B\) и \(CC_1B\), которые являются прямоугольными. 4. Угол \(A_1AA\) равен углу \(C_1CC\), как углы, дополняющие угол В до 90 градусов. Поэтому, \(\angle A_1AA = 90 - \angle B = \angle C_1CC\). Учитывая, что \(\angle CA_1A = \angle CAA_1\), можно сделать вывод, что углы \(CC_1A_1\) и \(CAA_1\) равны. Что и требовалось доказать.