24 Середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба. Докажите, что данный па- раллелограмм – прямоугольник.

Пусть ABCD - данный параллелограмм, а точки E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

EFGH - ромб.

Нужно доказать, что ABCD - прямоугольник.

Доказательство:

Так как E и F - середины сторон AB и BC соответственно, то EF - средняя линия треугольника ABC. Значит, EF || AC и EF = 1/2 AC.

Аналогично, так как G и H - середины сторон CD и DA соответственно, то HG - средняя линия треугольника CDA. Значит, HG || AC и HG = 1/2 AC.

Следовательно, EF || HG и EF = HG.

Аналогично, EH - средняя линия треугольника ABD, а FG - средняя линия треугольника BCD. Тогда EH || BD, EH = 1/2 BD, FG || BD, FG = 1/2 BD.

Следовательно, EH || FG и EH = FG.

Таким образом, EFGH - параллелограмм. Но по условию EFGH - ромб, а значит, все его стороны равны: EF = FG = GH = HE.

Так как EF = 1/2 AC и EH = 1/2 BD, то AC = BD. Диагонали параллелограмма ABCD равны, следовательно, ABCD - прямоугольник.

Ответ: Доказано.