15 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.

Теорема (третий признак равенства треугольников): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и CA = C₁A₁.

Докажем, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Накладываем ΔABC на ΔA₁B₁C₁ так, чтобы сторона AB совпала со стороной A₁B₁.

Тогда вершина C может оказаться либо по ту же сторону от прямой A₁B₁, что и C₁, либо по другую сторону. Рассмотрим случай, когда вершины C и C₁ лежат по разные стороны от A₁B₁.

Соединим точки C₁ и C отрезком. Так как по условию CA = C₁A₁ и CB = C₁B₁, то треугольники CA₁C₁ и CB₁C₁ — равнобедренные. Поэтому ∠ACA₁ = ∠CC₁A₁ и ∠BCB₁ = ∠CC₁B₁.

Тогда ∠ACB = ∠ACA₁ + ∠BCB₁ = ∠CC₁A₁ + ∠CC₁B₁ = ∠A₁C₁B₁.

Таким образом, мы доказали, что AB = A₁B₁, CA = C₁A₁ и ∠ACB = ∠A₁C₁B₁.

Следовательно, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по первому признаку равенства треугольников.

Ответ: формулировка и доказательство третьего признака равенства треугольников.