Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

Вероятность выпадения орла при каждом броске симметричной монеты равна \( p = 0.5 \), а вероятность выпадения решки равна \( q = 1 - p = 0.5 \). Количество бросков равно \( n = 10 \).

Вероятность выпадения ровно \( k \) орлов при \( n \) бросках в схеме Бернулли вычисляется по формуле:

\[ P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний.

1. Вероятность выпадения ровно 5 орлов:

\[ P(5) = C_{10}^5 \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{10-5} = C_{10}^5 \cdot (0.5)^{10} \]

Рассчитаем число сочетаний \( C_{10}^5 \):

\[ C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252 \]

Таким образом, \( P(5) = 252 \cdot (0.5)^{10} \).

2. Вероятность выпадения ровно 4 орла:

\[ P(4) = C_{10}^4 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{10-4} = C_{10}^4 \cdot (0.5)^{10} \]

Рассчитаем число сочетаний \( C_{10}^4 \):

\[ C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \]

Таким образом, \( P(4) = 210 \cdot (0.5)^{10} \).

3. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Для этого найдём отношение \( \frac{P(5)}{P(4)} \):

\[ \frac{P(5)}{P(4)} = \frac{252 \cdot (0.5)^{10}}{210 \cdot (0.5)^{10}} = \frac{252}{210} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{252}{210} = \frac{126}{105} = \frac{42}{35} = \frac{6}{5} = 1.2 \]

Ответ: Вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла» в \( 1.2 \) раза.