7. Сократите дробь: x²-16 / 3x2-17х+20

7. Сократите дробь: $$\frac{x^2-16}{3x^2-17x+20}$$.

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$$

$$x^2-16 = (x-4)(x+4)$$

Разложим знаменатель на множители. Для этого решим квадратное уравнение:

$$3x^2-17x+20=0$$

Вычислим дискриминант по формуле $$\D = b^2 - 4ac$$

В нашем случае:

$$a = 3, b = -17, c = 20$$

$$\D = (-17)^2 - 4\times3\times20 = 289 - 240 = 49$$

Дискриминант больше нуля, поэтому квадратное уравнение имеет два корня.

Корни находим по формуле:

$$\x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$\x_1 = \frac{17 + \sqrt{49}}{2\times3} = \frac{17 + 7}{6} = \frac{24}{6} = 4$$ $$\x_2 = \frac{17 - \sqrt{49}}{2\times3} = \frac{17 - 7}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$

Разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:

$$\ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

В нашем случае:

$$3x^2-17x+20 = 3(x - 4)(x - \frac{5}{3}) = (x - 4)(3x - 5)$$

Тогда дробь можно представить в виде:

$$\frac{x^2-16}{3x^2-17x+20} = \frac{(x-4)(x+4)}{(x - 4)(3x - 5)}$$

Сократим дробь на $$(x-4)$$:

$$\frac{(x-4)(x+4)}{(x - 4)(3x - 5)} = \frac{x+4}{3x-5}$$

Ответ: $$\frac{x+4}{3x-5}$$