3. Сократите дробь: 26x²-31x+9 / (65x-45)(5x+2)

Необходимо сократить дробь $$\frac{26x^2 - 31x + 9}{(65x - 45)(5x + 2)}$$.

Разложим квадратный трехчлен в числителе на множители. Решим уравнение 26x² - 31x + 9 = 0.

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 26 \cdot 9 = 961 - 936 = 25$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 + \sqrt{25}}{2 \cdot 26} = \frac{31 + 5}{52} = \frac{36}{52} = \frac{9}{13}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 - \sqrt{25}}{2 \cdot 26} = \frac{31 - 5}{52} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$$

Тогда числитель можно представить в виде:

$$26x^2 - 31x + 9 = 26(x - \frac{9}{13})(x - \frac{1}{2}) = 13(x - \frac{9}{13}) \cdot 2(x - \frac{1}{2}) = (13x - 9)(2x - 1)$$

Преобразуем знаменатель:

$$(65x - 45)(5x + 2) = 5(13x - 9)(5x + 2)$$

Теперь сократим дробь:

$$\frac{26x^2 - 31x + 9}{(65x - 45)(5x + 2)} = \frac{(13x - 9)(2x - 1)}{5(13x - 9)(5x + 2)} = \frac{2x - 1}{5(5x + 2)} = \frac{2x - 1}{25x + 10}$$

Ответ: (2x - 1) / (25x + 10)