5. Сократите дробь: (2x-2)(x-5) / 15х2-11x-4

5. Сократите дробь: $$\frac{(2x-2)(x-5)}{15x^2-11x-4}$$.

Разложим знаменатель на множители. Для этого решим квадратное уравнение:

$$15x^2-11x-4=0$$

Вычислим дискриминант по формуле $$\D = b^2 - 4ac$$

В нашем случае:

$$a = 15, b = -11, c = -4$$

$$\D = (-11)^2 - 4\times15\times(-4) = 121 + 240 = 361$$

Дискриминант больше нуля, поэтому квадратное уравнение имеет два корня.

Корни находим по формуле:

$$\x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$\x_1 = \frac{11 + \sqrt{361}}{2\times15} = \frac{11 + 19}{30} = \frac{30}{30} = 1$$ $$\x_2 = \frac{11 - \sqrt{361}}{2\times15} = \frac{11 - 19}{30} = \frac{-8}{30} = -\frac{4}{15}$$

Разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:

$$\ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

В нашем случае:

$$15x^2-11x-4 = 15(x - 1)(x + \frac{4}{15}) = (x - 1)(15x + 4)$$

Тогда дробь можно представить в виде:

$$\frac{(2x-2)(x-5)}{15x^2-11x-4} = \frac{2(x-1)(x-5)}{(x - 1)(15x + 4)}$$

Сократим дробь на $$(x-1)$$:

$$\frac{2(x-1)(x-5)}{(x - 1)(15x + 4)} = \frac{2(x-5)}{15x+4}$$

Ответ: $$\frac{2(x-5)}{15x+4}$$