624. Сократите дробь: e) $$\frac{3x^{2}+16x-12}{10-13x-3x^{2}}$$.

e) Разложим числитель и знаменатель на множители.

Для разложения числителя найдем корни квадратного трехчлена $$3x^2 + 16x - 12$$.

$$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 + 20}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 - 20}{6} = \frac{-36}{6} = -6$$

Тогда $$3x^2 + 16x - 12 = 3(x - \frac{2}{3})(x + 6) = (3x - 2)(x + 6)$$

Для разложения знаменателя найдем корни квадратного трехчлена $$-3x^2 - 13x + 10$$.

$$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 10 = 169 + 120 = 289$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{289}}{2 \cdot (-3)} = \frac{13 + 17}{-6} = \frac{30}{-6} = -5$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{289}}{2 \cdot (-3)} = \frac{13 - 17}{-6} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}$$

Тогда $$-3x^2 - 13x + 10 = -3(x + 5)(x - \frac{2}{3}) = -(x + 5)(3x - 2)$$

Исходная дробь:

$$\frac{3x^2 + 16x - 12}{10 - 13x - 3x^2} = \frac{(3x - 2)(x + 6)}{-(x + 5)(3x - 2)}$$

Сократим дробь на $$3x - 2$$:

$$\frac{(3x - 2)(x + 6)}{-(x + 5)(3x - 2)} = -\frac{x + 6}{x + 5}$$

Ответ: $$\frac{-(x + 6)}{x + 5}$$