Solve the inequality: (x-3)^2 < sqrt(5)(x-3)

Решение:

1. Перенесем все члены в одну сторону:
   \((x-3)^2 - \sqrt{5}(x-3) < 0\)
2. Вынесем общий множитель (x-3) за скобки:
   \((x-3) [(x-3) - \sqrt{5}] < 0\)
   \((x-3)(x-3-\sqrt{5}) < 0\)
3. Найдем корни уравнения:
   \((x-3)(x-3-\sqrt{5}) = 0\)
   Корни: x = 3 и x = 3 + \(\sqrt{5}\).
4. Определим интервалы знаков:
   Числовая ось разбивается на три интервала: (-\(\infty\); 3), (3; 3+\(\sqrt{5}\)), (3+\(\sqrt{5}\); +\(\infty\)).
   Возьмем тестовые точки:
   
   • x = 0: (0-3)(0-3-\(\sqrt{5}\)) = (-3)(-3-\(\sqrt{5}\)) = 9 + 3\(\sqrt{5}\) > 0
   • x = 3.1: (3.1-3)(3.1-3-\(\sqrt{5}\)) = (0.1)(0.1-\(\sqrt{5}\)) < 0 (так как \(\sqrt{5}\) ≈ 2.23)
   • x = 5: (5-3)(5-3-\(\sqrt{5}\)) = (2)(2-\(\sqrt{5}\)) < 0 (так как 2 < \(\sqrt{5}\))
     Исправление: 2 < \(\sqrt{5}\) => 2 - \(\sqrt{5}\) < 0.
     Возьмем x = 6: (6-3)(6-3-\(\sqrt{5}\)) = (3)(3-\(\sqrt{5}\)) > 0 (так как 3 > \(\sqrt{5}\))
5. Выберем интервал, где неравенство выполняется:
   Неравенство \((x-3)(x-3-\sqrt{5}) < 0\) выполняется, когда x находится между корнями, то есть 3 < x < 3 + \(\sqrt{5}\).

Ответ: (3; 3 + \(\sqrt{5}\))