4 Сравните дроби, учитывая их уда- ленность от единицы: 97 98 и 110 111 98 99 111 112

Сравним дроби, вычитая каждую дробь из единицы:

$$\text{1) } 1 - \frac{97}{98} = \frac{98}{98} - \frac{97}{98} = \frac{1}{98}$$ $$\text{2) } 1 - \frac{98}{99} = \frac{99}{99} - \frac{98}{99} = \frac{1}{99}$$ $$\text{3) } 1 - \frac{110}{111} = \frac{111}{111} - \frac{110}{111} = \frac{1}{111}$$ $$\text{4) } 1 - \frac{111}{112} = \frac{112}{112} - \frac{111}{112} = \frac{1}{112}$$

Сравниваем полученные дроби, чем меньше дробь, тем ближе исходная дробь к единице. Сравним дроби попарно:

$$\frac{1}{98} > \frac{1}{99} \Rightarrow \frac{97}{98} < \frac{98}{99}$$ $$\frac{1}{111} > \frac{1}{112} \Rightarrow \frac{110}{111} < \frac{111}{112}$$

Сравним теперь \(\frac{98}{99}\) и \(\frac{110}{111}\). Для этого приведем дроби к общему знаменателю: 99 * 111 = 10989

$$\frac{98}{99} = \frac{98 \cdot 111}{99 \cdot 111} = \frac{10878}{10989}$$ $$\frac{110}{111} = \frac{110 \cdot 99}{111 \cdot 99} = \frac{10890}{10989}$$

Так как \(\frac{10878}{10989} < \frac{10890}{10989}\), то \(\frac{98}{99} < \frac{110}{111}\)

Сравним теперь \(\frac{98}{99}\) и \(\frac{111}{112}\). Для этого приведем дроби к общему знаменателю: 99 * 112 = 11088

$$\frac{98}{99} = \frac{98 \cdot 112}{99 \cdot 112} = \frac{10976}{11088}$$ $$\frac{111}{112} = \frac{111 \cdot 99}{112 \cdot 99} = \frac{10989}{11088}$$

Так как \(\frac{10976}{11088} < \frac{10989}{11088}\), то \(\frac{98}{99} < \frac{111}{112}\)

Тогда:

$$\frac{97}{98} < \frac{98}{99} < \frac{110}{111} < \frac{111}{112}$$

Ответ: \(\frac{97}{98} < \frac{98}{99} < \frac{110}{111} < \frac{111}{112}\)