1 Средняя линия трапеции равна 30. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 5:3. Найдите меньшее основание трапеции. Ответ:

Пусть средняя линия трапеции $$MN$$, где $$M$$ - точка пересечения средней линии и диагонали $$AC$$, $$N$$ - точка пересечения средней линии и диагонали $$BD$$. По условию, диагональ трапеции делит среднюю линию в отношении 5:3, то есть $$AM:MB = 5:3$$. Пусть $$AM = 5x$$, $$MB = 3x$$. Тогда $$MN = AM + MB = 5x + 3x = 8x$$. По условию, $$MN = 30$$. Значит, $$8x = 30$$, откуда $$x = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3.75$$.

Пусть $$BC$$ - меньшее основание трапеции, $$AD$$ - большее основание трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$MN = \frac{BC + AD}{2}$$. Треугольники $$\triangle BOC$$ и $$ \triangle DOA$$ подобны по двум углам (вертикальные и накрест лежащие углы при параллельных прямых). Коэффициент подобия равен отношению соответствующих отрезков средней линии, то есть $$\frac{BC}{AD} = \frac{BM}{AM} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$$. Отсюда $$AD = \frac{5}{3} BC$$.

Подставим в формулу средней линии трапеции: $$30 = \frac{BC + \frac{5}{3}BC}{2} = \frac{\frac{8}{3}BC}{2} = \frac{4}{3}BC$$. Получаем, $$BC = 30 \cdot \frac{3}{4} = \frac{90}{4} = 22.5$$.

Ответ: 22,5