4. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а каждое боковое ребро равно 3 см. Найти объём пирамиды.

Пусть сторона основания равна $$a = 4$$ см, а боковое ребро равно $$b = 3$$ см. Объём пирамиды вычисляется по формуле $$V = \frac{1}{3}S_{осн}h$$, где $$S_{осн}$$ - площадь основания, а $$h$$ - высота пирамиды.

Основание - квадрат, поэтому $$S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$$ см$$^2$$.

Теперь найдем высоту пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Диагональ основания равна $$d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$. Половина диагонали равна $$\frac{d}{2} = 2\sqrt{2}$$.

По теореме Пифагора, $$h^2 + (2\sqrt{2})^2 = b^2$$, то есть $$h^2 + 8 = 9$$, откуда $$h^2 = 1$$, и $$h = 1$$ см.

Теперь найдем объем пирамиды: $$V = \frac{1}{3} * 16 * 1 = \frac{16}{3}$$ см$$^3$$.

Ответ: Объем пирамиды равен $$\frac{16}{3}$$ см$$^3$$.