762 Сторона равностороннего треугольника АВС равна а. Най- дите: а) | AB + BC |; 6) | AB+ AC |; в) | AB + CB |; г) | BA-BC); д) | АВ-АС |.

a) \(|\vec{AB} + \vec{BC}|\):

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) равен 120°.

$$|\vec{AB} + \vec{BC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos{120^\circ} = a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2}) = a^2$$ $$|\vec{AB} + \vec{BC}| = \sqrt{a^2} = a$$

б) \(|\vec{AB} + \vec{AC}|\):

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равен 60°.

$$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos{60^\circ} = a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = 3a^2$$ $$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$

в) \(|\vec{AB} + \vec{CB}|\):

$$\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AB} - \vec{BC}$$

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) равен 60°.

$$|\vec{AB} - \vec{BC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 - 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos{60^\circ} = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = a^2$$ $$|\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{a^2} = a$$

г) \(|\vec{BA} - \vec{BC}|\):

$$\vec{BA} - \vec{BC} = -\vec{AB} - \vec{BC} = -(\vec{AB} + \vec{BC})$$

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) равен 120°.

$$|-\vec{AB} - \vec{BC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos{120^\circ} = a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2}) = a^2$$ $$|-\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{a^2} = a$$

д) \(|\vec{AB} - \vec{AC}|\):

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равен 60°.

$$|\vec{AB} - \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos{60^\circ} = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = a^2$$ $$|\vec{AB} - \vec{AC}| = \sqrt{a^2} = a$$

Ответ: a; a\(\sqrt{3}\); a; a; a