10. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 5 с большая из диагоналей его боковых граней образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

1. Большая диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол 60°, значит, $$d = \frac{h}{\sin 60^\circ}$$, где h - высота параллелепипеда, d - большая диагональ боковой грани.

2. Большая диагональ боковой грани: $$d = \sqrt{h^2 + 5^2}$$.

3. Получаем: $$\sqrt{h^2 + 5^2} = \frac{h}{\sin 60^\circ} = \frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$$.

4. Возводим в квадрат: $$h^2 + 25 = \frac{4h^2}{3}$$.

5. Умножаем на 3: $$3h^2 + 75 = 4h^2$$.

6. Отсюда $$h^2 = 75$$, и $$h = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$.

7. Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 2(3 + 5) \times 5\sqrt{3} = 2 \times 8 \times 5\sqrt{3} = 80\sqrt{3}$$.

8. Площадь основания: $$S_{осн} = 3 \times 5 = 15$$.

9. Полная площадь поверхности: $$S = S_{бок} + 2S_{осн} = 80\sqrt{3} + 2 \times 15 = 80\sqrt{3} + 30 \approx 168.56$$.

Ответ: $$30 + 80\sqrt{3}$$