Стрелок стреляет в тире по восьми одинаковым мишеням. Вероятность попасть в каждую мишень при каждом выстреле одна и та же. Чтобы сбить все восемь мишеней, стрелку потребовалось 11 выстрелов. Какова вероятность того, что первыми пятью выстрелами стрелок сбил хотя бы четыре мишени?

Решение:

Пусть \(p\) — вероятность попадания в мишень при одном выстреле, а \(q = 1-p\) — вероятность промаха.

Из условия известно, что для поражения 8 мишеней потребовалось 11 выстрелов. Это означает, что было 8 попаданий и \(11-8=3\) промаха.

Общее количество способов распределить 3 промаха среди 11 выстрелов равно \( \binom{11}{3} \).

Чтобы поразить все 8 мишеней, последний, 11-й выстрел, должен быть попаданием (иначе, если бы 11-й выстрел был промахом, то 8 мишеней были бы поражены раньше 11-го выстрела). Следовательно, среди первых 10 выстрелов было 7 попаданий и 3 промаха.

Количество способов распределить 3 промаха среди первых 10 выстрелов равно \( \binom{10}{3} \).

Таким образом, вероятность того, что потребовалось ровно 11 выстрелов для поражения 8 мишеней, равна:

\[ P(\text{11 выстрелов}) = \frac{\binom{10}{3}}{\binom{11}{3}} = \frac{\frac{10!}{3!7!}}{\frac{11!}{3!8!}} = \frac{10! \cdot 3! \cdot 8!}{3! \cdot 7! \cdot 11!} = \frac{10! \cdot 8}{11!} = \frac{8}{11} \]

Теперь найдем вероятность \(p\) попадания в одну мишень.

Рассмотрим схему распределения 3 промахов среди 11 выстрелов. Общее число исходов равно \( \binom{11}{3} \). Число исходов, когда 8 мишеней поражены ровно за 11 выстрелов, равно \( \binom{10}{3} \).

Следовательно, \( P(\text{11 выстрелов}) = \frac{\binom{10}{3}}{\binom{11}{3}} = \frac{120}{462} = \frac{8}{11} \). Если предположить, что \(p\) — вероятность попадания, то вероятность того, что потребовалось ровно \(k\) выстрелов для поражения \(n\) мишеней, равна \( \binom{k-1}{n-1} p^n q^{k-n} \). В нашем случае \(n=8\), \(k=11\).

\( \binom{10}{7} p^8 q^3 = \frac{120}{1} p^8 q^3 \). Это не тот подход.

Посмотрим на эту задачу с другой стороны. У нас есть 11 выстрелов, 8 из которых — попадания, а 3 — промахи. Все эти исходы равновероятны, если \(p=q=1/2\). Но \(p\) неизвестно.

Из условия, что для поражения 8 мишеней потребовалось 11 выстрелов, следует, что последний выстрел был попаданием, а среди первых 10 выстрелов было 7 попаданий и 3 промаха. Любая такая последовательность из 7 попаданий и 3 промахов (где последнее — попадание) равновероятна.

Всего таких последовательностей \( \binom{10}{3} \).

Нас интересует вероятность того, что первыми пятью выстрелами стрелок сбил хотя бы четыре мишени.

Рассмотрим только первые 5 выстрелов. Пусть \(X\) — количество пораженных мишеней за первые 5 выстрелов. Мы хотим найти \( P(X ≥ 4) \).

Однако, информация о том, что потребовалось 11 выстрелов для 8 поражений, дает нам информацию о вероятности \(p\) попадания.

Рассмотрим все возможные исходы 11 выстрелов, где ровно 8 попаданий и 3 промаха, и последний выстрел — попадание. Это означает, что среди первых 10 выстрелов было 7 попаданий и 3 промаха.

Количество способов выбрать позиции 3 промахов из 10 выстрелов равно \( \binom{10}{3} = 120 \).

Теперь рассмотрим первые 5 выстрелов. Нам нужно, чтобы среди них было хотя бы 4 попадания. Это означает, что могло быть 4 попадания и 1 промах, или 5 попаданий и 0 промахов.

Случай 1: 4 попадания и 1 промах в первых 5 выстрелах.

Если в первых 5 выстрелах было 4 попадания и 1 промах, это означает, что среди оставшихся 6 выстрелов (с 6-го по 11-й) должно быть \(8-4=4\) попадания и \(3-1=2\) промаха. И последний выстрел (11-й) должен быть попаданием.

Рассмотрим такую последовательность: первые 5 выстрелов содержат 4 попадания и 1 промах. Остальные 6 выстрелов (с 6-го по 11-й) должны содержать 4 попадания и 2 промаха, причем 11-й выстрел — попадание.

Если в первых 5 выстрелах было 4 попадания и 1 промах, то количество способов выбрать эти 4 попадания из 5 равно \( \binom{5}{4} \). И количество способов выбрать 1 промах равно \( \binom{1}{1} \).

Среди оставшихся 6 выстрелов (с 6-го по 11-й), нам нужно получить 4 попадания и 2 промаха, при условии, что 11-й выстрел — попадание. Это значит, что среди выстрелов с 6-го по 10-й (5 выстрелов) должно быть 3 попадания и 2 промаха. Количество способов это сделать: \( \binom{5}{3} \).

Итого для случая 4 попаданий в первых 5 выстрелов: \( \binom{5}{4} \) способов выбрать позиции попаданий, \( \binom{1}{1} \) способов выбрать позицию промаха. Затем, из оставшихся 6 выстрелов, 11-й должен быть попаданием. Значит, среди выстрелов 6-10, нужно 3 попадания и 2 промаха. Количество способов: \( \binom{5}{3} \).

Общее количество способов выбрать позиции 3 промахов из 10 выстрелов, при условии, что первые 5 выстрелов содержат 4 попадания и 1 промах:

Рассмотрим сценарий: Первые 5 выстрелов: \(k_1\) попаданий, \(n_1\) промахов, \(k_1+n_1=5\).

Оставшиеся 6 выстрелов (6-11): \(k_2\) попаданий, \(n_2\) промахов, \(k_2+n_2=6\).

Всего: \(k_1+k_2=8\), \(n_1+n_2=3\). И 11-й выстрел — попадание.

Следовательно, \(k_2 \ge 1\) (11-й выстрел) и \(k_1+k_2=8\). Из этого следует, что \(k_1 ≤ 7\).

Мы хотим \(k_1 ≥ 4\). Значит, \(k_1 = 4\) или \(k_1 = 5\).

Случай A: \(k_1 = 4\) (4 попадания, 1 промах в первых 5 выстрелах).

Тогда \(n_1 = 1\).

Для выполнения условия, что 11-й выстрел — попадание, среди выстрелов с 6-го по 10-й (5 выстрелов) должно быть \( k_2' \) попаданий и \( n_2' \) промахов, таких что \( k_2' + n_2' = 5 \).

Общее количество попаданий \( = k_1 + k_2' + 1 = 4 + k_2' + 1 = 5 + k_2' = 8 \). Отсюда \( k_2' = 3 \).

Общее количество промахов \( = n_1 + n_2' = 1 + n_2' = 3 \). Отсюда \( n_2' = 2 \).

Итак, для случая A: первые 5 выстрелов — 4 попадания, 1 промах. Следующие 5 выстрелов (6-10) — 3 попадания, 2 промаха. 11-й выстрел — попадание.

Количество способов выбрать позиции промахов среди первых 10 выстрелов:

Позиции промахов: \(n_1=1\) промах в первых 5 выстрелах, \(n_2'=2\) промаха в выстрелах 6-10. Итого 3 промаха.

Количество способов выбрать 1 промах из первых 5 выстрелов: \( \binom{5}{1} = 5 \).

Количество способов выбрать 2 промаха из следующих 5 выстрелов (6-10): \( \binom{5}{2} = 10 \).

Общее количество благоприятных исходов для случая A: \( \binom{5}{1} \times \binom{5}{2} = 5 \times 10 = 50 \).

Случай B: \(k_1 = 5\) (5 попаданий, 0 промахов в первых 5 выстрелах).

Тогда \(n_1 = 0\).

Для выполнения условия, что 11-й выстрел — попадание, среди выстрелов с 6-го по 10-й (5 выстрелов) должно быть \( k_2' \) попаданий и \( n_2' \) промахов, таких что \( k_2' + n_2' = 5 \).

Общее количество попаданий \( = k_1 + k_2' + 1 = 5 + k_2' + 1 = 6 + k_2' = 8 \). Отсюда \( k_2' = 2 \).

Общее количество промахов \( = n_1 + n_2' = 0 + n_2' = 3 \). Отсюда \( n_2' = 3 \).

Итак, для случая B: первые 5 выстрелов — 5 попаданий, 0 промахов. Следующие 5 выстрелов (6-10) — 2 попадания, 3 промаха. 11-й выстрел — попадание.

Количество способов выбрать позиции промахов среди первых 10 выстрелов:

Позиции промахов: \(n_1=0\) промахов в первых 5 выстрелах, \(n_2'=3\) промаха в выстрелах 6-10. Итого 3 промаха.

Количество способов выбрать 0 промахов из первых 5 выстрелов: \( \binom{5}{0} = 1 \).

Количество способов выбрать 3 промаха из следующих 5 выстрелов (6-10): \( \binom{5}{3} = 10 \).

Общее количество благоприятных исходов для случая B: \( \binom{5}{0} \times \binom{5}{3} = 1 \times 10 = 10 \).

Общее количество благоприятных исходов = 50 (случай A) + 10 (случай B) = 60.

Общее количество всех возможных исходов (позиций 3 промахов среди первых 10 выстрелов) равно \( \binom{10}{3} = 120 \).

Вероятность того, что первыми пятью выстрелами стрелок сбил хотя бы четыре мишени, равна:

\[ P(\text{хотя бы 4 из 5}) = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Все исходы}} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} \]

Ответ: 1/2