2. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма ее первых пяти членов равна 31. Найдите первый член прогрессии.

Пусть $$b_1$$ - первый член прогрессии, $$q$$ - знаменатель прогрессии.

1. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $$S = \frac{b_1}{1-q} = 32$$.
2. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $$S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = 31$$.
3. Разделим второе уравнение на первое: $$\frac{S_5}{S} = \frac{\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}}{\frac{b_1}{1-q}} = \frac{31}{32}$$.
4. $$\frac{b_1(1-q^5)}{1-q} \cdot \frac{1-q}{b_1} = \frac{31}{32}$$.
5. $$1 - q^5 = \frac{31}{32}$$.
6. $$q^5 = 1 - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$$.
7. $$q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$$.
8. Подставим значение $$q$$ в первое уравнение: $$\frac{b_1}{1 - \frac{1}{2}} = 32$$.
9. $$\frac{b_1}{\frac{1}{2}} = 32$$.
10. $$b_1 = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16$$.

Ответ: 16.