650. Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен: 1) 150°; 2) 100°?

1) Пусть каждый угол многоугольника равен $$150^\circ$$. Сумма углов выпуклого $$n$$-угольника равна $$(n-2) \cdot 180^\circ$$. Тогда каждый угол правильного $$n$$-угольника равен $$\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$$. Итак, $$\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = 150^\circ$$ $$(n-2) \cdot 180 = 150n$$ $$180n - 360 = 150n$$ $$30n = 360$$ $$n = 12$$ Значит, существует правильный двенадцатиугольник, каждый угол которого равен $$150^\circ$$. 2) Пусть каждый угол многоугольника равен $$100^\circ$$. Тогда $$\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = 100^\circ$$ $$(n-2) \cdot 180 = 100n$$ $$180n - 360 = 100n$$ $$80n = 360$$ $$n = \frac{360}{80} = \frac{9}{2} = 4.5$$ Так как $$n$$ не является целым числом, то такого многоугольника не существует. Ответ: 1) существует, 2) не существует.