649. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: 1) 1800°; 2) 720°; 3) 1600°?

Сумма углов выпуклого $$n$$-угольника равна $$(n-2) \cdot 180^\circ$$. 1) Если сумма углов $$1800^\circ$$, то: $$(n-2) \cdot 180^\circ = 1800^\circ$$ $$n-2 = 10$$ $$n = 12$$ Так как $$n$$ - целое число, то такой многоугольник существует (двенадцатиугольник). 2) Если сумма углов $$720^\circ$$, то: $$(n-2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$$ $$n-2 = 4$$ $$n = 6$$ Так как $$n$$ - целое число, то такой многоугольник существует (шестиугольник). 3) Если сумма углов $$1600^\circ$$, то: $$(n-2) \cdot 180^\circ = 1600^\circ$$ $$n-2 = \frac{1600}{180} = \frac{80}{9}$$ $$n = \frac{80}{9} + 2 = \frac{98}{9} \approx 10.89$$ Так как $$n$$ не является целым числом, то такого многоугольника не существует. Ответ: 1) существует, 2) существует, 3) не существует.